מחשבות על פעולות בינאריות

01/08/2024

יש דמיון בין אפס לאחד: תפקידם של האפס בחיבור ושל האחד בכפל, זהה. מאבחנה זו אפשר להכליל ולחשוב על דמיון ושוני בין פעולות. למעשה נסתכל על הפעולות הספציפיות ו"נצא" מהן להגדרות כלליות יותר, על ידי שימוש בדדוקציה: הסקה מהפרט אל הכלל.

למשל, גם החיבור וגם הכפל מקיימים את חוקי החילופיות והקיבוציות. סדר המחוברים לא משפיע על הסכום וסדר הגורמים לא משפיע על המכפלה, וגם הסדר שבו מחברים או כופלים את האיברים לא משנה את התוצאה הסופית. כלומר, יש תכונות משותפות לכפל ולחיבור הנובעות מטבען של הפעולות האלה. במקרה ספציפי זה, חיבור וכפל שייכות לתת קבוצה של פעולות הנקראת "פעולות בינאריות", אלה פעולות המקבלות שני נתונים ומחזירות נתון אחד. למיטיבי לכת שקראו מאמרים קודמים שלי בתחום המתמטיקה, פעולות בינאריות הן למעשה התאמה: הן מתאימות תוצאה אחת ויחידה לכל זוג נתונים. אם כן, רעיון ההתאמה שכתבתי עליו בעבר חוזר כאן שוב ומוכיח שהוא הרעיון הכללי יותר: פעולות הן סוג של התאמה, והתאמה היא לא סוג של פעולה.

למעשה אפשר להתייחס גם אל פעולות כאל אובייקטים מתמטיים בעלי תכונות שונות, שנובעות מטבען. חיבור וכפל הן רק דוגמאות קונקרטיות לפעולות מופשטות יותר. מוזר לחשוב על חיבור, שמסומן במעין "פלוס" קטן כזה שבין שני מספרים, כעל אובייקט בעל תכונות משלו, ממש כמו השולחן שלי. אך זהו כוח ההפשטה של המתמטיקה ועליו היא מושתתת. תמיד נזהה את התכונות המשותפות לאובייקטים שונים, וזו בעצם האבחנה בכך שהם למעשה אובייקטים, ואחר כך נאגד את האובייקטים בעלי התכונות המשותפות לקטגוריה, או קבוצה מסוימת. בקבוצת הפעולות הבינאריות נמצא את הכפל והחיבור, את החיסור והחילוק, וגם את האיחוד בין קבוצות: A איחוד B היא קבוצה חדשה, שהיא תוצר של שתי קבוצות שונות.

המעבר מטיפול בפרטים לטיפול במבניים כלליים יותר הוא לב ליבה של המתמטיקה, והוא תשובה לפחות חלקית לכל התוהים, מהי? המתמטיקה מאפשרת למצוא מבנים כלליים ולסווג פרטים לקטגוריות באופן כזה שיוצר עץ היררכי של רעיונות מופשטים. החקירה הזו מאפשרת הסקת מסקנות שמובילות למציאת פרטים חדשים, ולהבחנה בתכונות חדשות של הפרטים הידועים.

למשל, חקר פעולות סימטריה על משולש שווה צלעות, ונתעלם לרגע מהשם המפוצץ, הוביל לאבחנה שתכונות מסוימות הן בסיסיות במהותן, ומכאן ודאי שיש להן חשיבות רבה. על כן החליטו מתמטיקאים לעסוק במערכות כלליות שבהן מתקיימות התכונות האלה, וקראו להן "חבורות". חקר החבורות מאפשר להבין כל כך הרבה דברים בעולם, מפיזיקה ועד אמנות, עד שקל מאוד לחשוב שחבורות הן לא המצאה של בני האדם אלא יש להן אחיזה כלשהי במציאות.

כלל האצבע הידוע שלי בנושא האמונה הוא, "העולם מחייב את קיום האל". אמנם נשמע מתאים יותר לבסס את האמונה על האקסיומה ש"אלוהים קיים", אבל זוהי אמונה שאיננה רציונלית. כפי שבמתמטיקה אנחנו מגיעים ממבנים פרטיים יותר למבנים כלליים יותר על ידי חקר תכונותיהם, כך חקר תכונות המציאות מורה לנו שאפשר "לצאת" ממנה אל מערכות כלליות יותר ויותר שהכללית ביותר שבהן היא האלוהים. "העולם מחייב את קיום האל", כי על ידי חקר העולם רואים שישנו אלוהים, בדיוק כפי שתכונותיהן של פעולות מתמטיות מחייבות את קיומן של קטגוריות כלליות ומופשטות יותר.

חקר תכונות החיבור מגלה לנו שחיבור הוא מקרה פרטי של התאמה. ננסה למצוא את תכונות ההתאמה ונגלה שהתאמה היא דבר כל כך מופשט עד שקשה למצוא לו איזשהן תכונות. אפשר לומר שההתאמה מתאימה בין איברים, אבל זו כמובן טאוטולוגיה. אולי תכונתה של ההתאמה היא פשוט, שהיא אפשרית. התאמה מאפשרת לנו להתאים בין איבר לאיבר, בין רעיון לרעיון, בין קבוצה לקבוצה, בין דבר שהוא מוחשי כמו אדם לבין דבר מופשט כמו השם או הגיל שלו. כל החוויה האנושית היא יישום של התאמות שונות בין העולם הגשמי לבין רעיונות מופשטים. כך אנחנו צוברים ידע על העולם והמציאות. האם התאמה היא "דבר" שהגה האדם? או שהיא עצמה כלי שניתן לנו לחקר המציאות על ידי מי שאמר "והיה העולם", שהיא ההתאמה הראשונה בתבל?

לעמוד השער
לעמוד הבית