פלוס של מינוס!

02/05/2024

קבוצת המספרים המרוכבים, שהיא למעשה שדה אבל למען הלא מתמטיקאים נקרא לה קבוצה, היא קבוצת המספרים החביבה עליי. היא פותחה בעיקר על ידי מתמטיקאים איטלקים, כקבוצה של מספרים שהם סכום של מכפלה של שורש של מספר שלילי. ממש ככה.

נזכיר, ראשית, שכל מספר שמעלים בריבוע הוא חיובי. למי ששכח, מינוס כפול מינוס הוא פלוס. ולכן גם מספר במינוס שנכפל בעצמו, ייתן תוצאה חיובית, בפלוס. ולכן, אין שורש למספר שלילי. שורש הוא הפעולה ההפוכה לחזקה, ולכן אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי, במינוס.

או שמא?

בקצרה, מתמטיקאים איטלקים שמו לב שיש משוואות שאין להן פתרון. אם מפעילים עליהן את נוסחת השורשים, מקבלים פתרון שהוא שורש של מספר שלילי, ומספר כזה הרי לא קיים. לכן אין פתרון. ובכל זאת, אלה מספרים שכאשר מציבים אותם במשוואה, הם פותרים אותה. אותם מתמטיקאים הסיקו שקיימת קבוצה של מספרים שטרם הכרנו, והחליטו להכיר אותה.

את הסיפור המתמטי המלא אפשר ללמוד במקומות אחרים, אבל אני נהניתי בעיקר ממתמטיקאי אחד בעל השם רפאל בומבלי, מהעיר בולוניה. בשנת 1572 הוא פרסם ספר בשם "האלגברה", שם הוא עסק במשוואה x³-15x-4=0 וכתב כך על חישובים עם מספרים שליליים:

  "פלוס כפול פלוס הוא פלוס
   מינוס כפול מינוס הוא פלוס
   פלוס כפול מינוס הוא מינוס
   מינוס כפול פלוס הוא מינוס"

בומבלי מצא פתרונות למשוואה הנזכרת למעלה, שכוללים שורשים של מספרים שליליים, דבר שלא יתכן במתמטיקה. ובכל זאת, בומבלי החליט להשתמש בשורשים האלה ולפתור בעזרתם את המשוואה, והוא הראשון שעשה את זה. יחד עם זאת, בומבלי לא לגמרי ידע עם מה הוא מתעסק, כך שלמספר 1-√ הוא קרא "פלוס של מינוס" וכתב כך על חישובים עם המספר הזה:

  "פלוס כפול פלוס של מינוס הוא פלוס של מינוס
   מינוס כפול פלוס של מינוס הוא מינוס של מינוס
   פלוס כפול מינוס של מינוס הוא מינוס של מינוס
   מינוס כפול מינוס של מינוס הוא פלוס של מינוס
   פלוס של מינוס כפול פלוס של מינוס הוא מינוס
   פלוס של מינוס כפול מינוס של מינוס הוא פלוס
   מינוס של מינוס כפול פלוס של מינוס הוא פלוס
   מינוס של מינוס כפול מינוס של מינוס הוא מינוס"

אני נהנה מהקטע הזה מאוד, וחושב שלמשוררי הדאדא של המאה העשרים יש הרבה מה ללמוד מהמתמטיקאי האיטלקי מבולוניה, מהמאה ה-16, רפאל בומבלי. נפלא!

לעמוד השער
לעמוד הבית