קבוצות כמושג בסיסי במתמטיקה מודרנית ומעט מתכונותיהן

18/07/2024

קבוצות הן מושג בסיסי במתמטיקה המודרנית למרות שלא התקיימו כמושג לפני אלפי שנים, בתקופת היוונים העתיקים. המתמטיקה גם היא מתחדשת לפעמים, ואפילו הרבה. אבל במאמר זה נעסוק בקבוצות, ולא מפני שמשמעות המילה "קבוצה" במתמטיקה שונה ממשמעות המילה "קבוצה" בעברית. אלא דווקא, חקר הקבוצות במתמטיקה עוסק בחקר המושג הזה עצמו. מהי קבוצה?

מהי קבוצה? ובכן, זהו אוסף של עצמים מוחשיים או מופשטים, וזו למעשה ההגדרה הבסיסית ביותר. המעניין הוא מה שנובע ממנה. בקבוצה יכולים להיות כל מיני עצמים, לעתים יש קשר ברור ביניהם: קבוצת המספרים הטבעיים כוללת את כל המספרים השלמים והחיוביים. אם למדתם לספור עד עשר בגן חובה, אתם מכירים את הקבוצה הזו. לעומת זאת, אין שום דבר שמונע מאיתנו להגדיר את הקבוצה הבאה: {1,2,גלקסיה,עצב,אריק איינשטיין}.

מה משותף לכל העצמים בקבוצה השנייה הזו? נראה שמעט מאוד. למעשה משותפת לכל העצמים, האיברים כפי שקוראים להם במתמטיקה, רק תכונה אחת: היותם חברים בקבוצה {1,2,גלקסיה,עצב,אריק איינשטיין}. כך, מה אפשר להגיד על איברים כלליים כלשהם של קבוצה כללית כלשהי? אפשר לומר, לפחות, שהם כולם איברי הקבוצה. זה דבר מדהים.

אם הייתי מבקש מאנשים לזהות מה משותף לכל העצמים האלה, כפי שאנו רואים לפעמים בחידות מסוימות, ודאי שרוב האנשים לא היו חושבים על התשובה הזו. זה בעצם כמו לענות לחידה בסגנון הזה בתשובה: "המשותף לכל העצמים האלה הוא שעל כולם שואלים בחידה הזו". מעין התחכמות, אבל היא נכונה. כמובן, בין איברי קבוצה יכולות להיות תכונות משותפות נוספות: הם יכולים כולם להיות מספרים, הם יכולים כולם להיות עגולים, הם יכולים כולם להיות מופשטים ועוד ועוד. אבל את התכונות האלה אנחנו לא יכולים להבטיח, מבלי לדעת בדיוק מי הם האיברים. ולעומת זאת, את חברותם בקבוצה אנחנו יכולים בהחלט להבטיח, גם כשאין לנו מושג מהי זהותם האינדיבידואלית.

מעבר לכך, כל איבר מקיים אחת משתי אפשרויות: או שהוא שייך לקבוצה שאנחנו בוחנים, או שהוא לא שייך אליה. גם זה דבר מדהים. הקבוצה מחלקת את העולם בחלוקה בינארית: או שאתה שייך לי, או שאינך שייך לי. איברים הם לא חלקית איברים בקבוצה, כלומר מוטלת עליהם הגבלה מרחבית: הם בקבוצה או שהם לא בקבוצה. והם גם לא בקבוצה רק חלק מהזמן, כלומר מוטלת עליהם הגבלה זמנית: הם בקבוצה מאז היווסדה ולנצח נצחים, או שהם מעולם לא היו בקבוצה ולעולם לא יהיו בה. אכן מדהים.

שתי דרכים להגדיר קבוצות חדשות הן איחוד וחיתוך של קבוצות קיימות. איחוד הוא קבוצה, שאיבריה הם איברים בלפחות מאחת הקבוצות המשתתפות באיחוד. וחיתוך הוא קבוצה, שאיבריה הם איברים בכל הקבוצות המשתתפות בחיתוך. תכונה מעניינת של איברי קבוצת החיתוך היא, שכעת אנחנו יכולים להגיד בוודאות שלאיברים כאלה יש יותר מתכונה אחת המשותפת שלהם, וזה מבלי לדעת מי הם. נבהיר:

נניח ש-A ו-B קבוצות, אז קבוצת החיתוך שלהם כוללת איברים שמצויים גם בזו וגם בזו. ולכן התכונה המשותפת לכל איברי קבוצת החיתוך היא, שהם איברים בלפחות שתי קבוצות. אם קודם אמרנו שהתכונה הבסיסית המשותפת לכל איברי אותה קבוצה היא היותם איברי אותה קבוצה, קבוצה אחת, הרי שעכשיו אנחנו יכולים להגיד שהתכונה הבסיסית המשותפת לכל איברי קבוצת החיתוך המורכבת משתי קבוצות, היא שהם איברי שתי קבוצות לפחות. מה אם בחיתוך משתתפות X קבוצות? ובכן, במקרה זה התכונה המשותפת לכל איברי החיתוך היא שהם איברי לפחות X קבוצות.

וכמה מילים על שקילות: שתי קבוצות הן שקולות אם אפשר להתאים בין האיברים שלהן, כך שלכל איבר בקבוצה האחת יותאם איבר אחד ויחיד בקבוצה השנייה. במילים אחרות, אם אפשר למתוח קו מכל איבר של קבוצה A לכל איבר של קבוצה B, כך שבין האיברים יעבור קו אחד ויחיד, הקבוצות שקולות. לחלופין, אפשר פשוט לספור את איברי הקבוצות האלה. אם בשתי קבוצות אותו מספר של איברים, הרי ברור שאפשר להעביר בין כל צמד מביניהם קו אחד ויחיד, ולכן הן שקולות.

מה שמעניין, ולכן התייחסתי כאן לשקילות, הוא שאצל ילדים ובחברות קדומות שיטת ההתאמה התפתחה קודם לשיטת הספירה. כדי לדעת אם שתי קבוצות הן שקולות, ילדים בודקים התאמה של איבריהן ולא סופרים אותם ומשווים. אבל הדבר הכי מעניין בכל הנושא הזה הוא התובנה הבאה:

למעשה, ספירת איברים בקבוצה היא בעצמה התאמה. ונדגים על ידי שתי קבוצות כדי להקל את ההסבר המופשט:

A={1,2,3,4,5}

{פיל,חתול,כפכף,כיסא,בננה}=B

מה פירוש "לספור את איברי B"? פירושו לקחת את האיבר "פיל" ולקרוא "אחד", ואז לקחת את האיבר "חתול" ולקרוא "שניים", וכן הלאה. כלומר, לספור איברים פירושו להתאים בין איבר כללי כלשהו לבין מספר טבעי כלשהו. ל"פיל" נתאים את המספר 1, ל"חתול" נתאים את המספר 2, ל"כפכף" נתאים את המספר 3, וכן הלאה, וכך אנחנו סופרים חמישה איברים בשתי הקבוצות ומראים שהן שקולות.

אבל מה עשינו כאן בעצם, אם לא להתאים בין איברי שתי הקבוצות, כך שבין כל צמד איברים עובר רק קו אחד ויחיד? זוהי לא שיטת הספירה, זוהי שיטת ההתאמה! אם כן, ספירה היא עצמה התאמה. היא מקרה פרטי של התאמה. התאמה היא השיטה הכללית, המופשטת יותר, וספירה היא רק דוגמה אחת לסוג מסוים של התאמה.

וזה כבר באמת מדהים. ראו כמה דברים נובעים ממושג הקבוצה. כמה יפה המתמטיקה.

לעמוד השער
לעמוד הבית