גודלם של מספרים

14/01/2024

קרה מקרה ובערב סוכות האחרון מצאתי את עצמי עם שאלה מעניינת במיוחד, שניסיתי למצוא לה תשובה ולא הצלחתי. אולי מישהו מהקוראים כאן יודע ויוכל לענות לי.

איך נדע כי 2 גדול מ-1?

הרי כשמדברים על גודלם של חפצים, מבחינים מיד בעין מי הגדול יותר. ובכלל, "גודל" היא מילה שמתארת מאפיין חיצוני, נראה לעין, שקשור לעולם החומר. פיל גדול יותר מעכבר ואף אחד לא יפקפק בזה. כשאנחנו חושבים על ציר המספרים, אנחנו משתמשים במילה "גודל" כדי לציין את מיקומו של מספר על הציר ביחס למספרים אחרים. למשל, 2 גדול מ-1 כי הוא נמצא אחריו על ציר המספרים. שוב יש לנו כאן מונח בעייתי, "אחריו", מה פירוש? הרי מספרים, שאינם חומרים, לא מסודרים בשורה. השורה נמצאת רק בראש שלנו. אם כן, במקום להחליף מונח מעורפל אחד באחר, נישאר עם המונח המעורפל המקורי, "גודל".

ובכן, כל ילד יסכים ש-2 גדול מ-1. אבל איך נדע כי 2 גדול מ-1?

באותו הערב מצאתי פתרון, רק לרגע: 2 גדול מ-1, מפני ש-1 – 2 גדול מ-0, ואילו 2 – 1 קטן מ-0. מצוין.

אך כעת נשאל, איך נדע כי 1 – 2 גדול מ-0? ובכן, נמשיך באותה שיטה? 0 – (1 – 2) גדול מ-0, בעוד (1 – 2) – 0 קטן מ-0. ולכן 1 – 2 גדול מ-0.

אבל איך נדע כי 0 – (1 – 2) גדול מ-0? אם נמשיך לחסר, הרי אנחנו נשארים באותה נקודה. ואנחנו יכולים להמשיך כך אד אינפיניטום.

רציתי אם כן להתייחס לגדלים פיזיים: מפני שיכול אדם להחזיק תפוח 1 ולא יכול להחזיק ב-1- תפוח, וכן לא יכול להחזיק 0 תפוח. אם כן מה שיש לו קיום גדול ממה שאין לו קיום, ו-0 ראשית הקיום. בהתחלה הסתפקתי בהסבר הזה, אבל אחר כך חשבתי ומצאתי בו טעות.

נסמן ב-x את מספר כל החלקיקים הקיימים ביקום, ונוסיף להם 1, ונקבל ש-x+1 אמנם גדול מ-0, אבל מאחר שאין כמות כזו של חלקיקים קיימים ביקום, הרי שאין קיום לגודל כזה, והוא קטן מ-0. ובכן, מצאנו סתירה.

אני מניח שהשימוש במילה "גודל" הוא מוסכמה לשונית, שלא מעידה על תכונה של המספרים. אבל אם גודל היא לא תכונה של המספרים, אז כל ההנחות שנובעות מגודלם של מספרים עלולות להיות לא תקפות. למשל, אם למספרים אין גודל, מה המשמעות של אי שוויונות?

האם קיימת הוכחה ריגורוזית לקביעת גודלם של מספרים? אם מישהו מכיר משהו כזה, שישתף אותי, כי אני לא מצליח להכריע.

לעמוד השער
לעמוד הבית